三维几何变换

基本变换

平移变换

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \]

旋转变换

• 绕 x 轴旋转.

$$ \begin{bmatrix} x' \ y' \ z' \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & cosθ & -sinθ & 0 \ 0 & sinθ & cosθ & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix} $$

• 绕 y 轴旋转.

$$ \begin{bmatrix} x' \ y' \ z' \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cosθ & 0 & sinθ & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ -sinθ & 0 & cosθ & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix} $$

• 绕 z 轴旋转.

$$ \begin{bmatrix} x' \ y' \ z' \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cosθ & -sinθ & 0 & 0 \ sinθ & cosθ & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix} $$

缩放变换

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \]

对称变换

错切变换

变换通式

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c & l \\ d & e & f & m \\ h & i & j & n \\ 0 & 0 & 0 & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \]

1. 子矩阵 $$ \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ h & i & j \ \end{bmatrix} $$ 可以产生缩放/旋转/对称/错切等变换.

2. 子矩阵 $$ \begin{bmatrix} l \ m \ n \end{bmatrix} $$ 可以产生平移变换.

3. 数 $$ \begin{bmatrix} s \end{bmatrix} $$ 可以产生整体缩放.

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