变换
英文: Transformation.
2D 变换
缩放(sacle)
\[
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
S_x & 0\\
0 & S_y
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\]
错切(shear)
\[
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & a\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\]
旋转(rotation)
绕坐标系原点旋转.
\[
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\]
平移(translation)
\[
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
t_x \\
t_y
\end{bmatrix}
\]
平移不是线性变换, 无法使用一个 2x2 矩阵来表示.
齐次坐标(homogenous coordinates)
为了保持变换运算的一致性, 引入齐次坐标.
添加第三个坐标 \(w\):
- 2D 点: \((x, y, 1)^T\) (\(w = 1\)).
- 2D 向量: \((x, y, 0)^T\) (\(w = 0\)).
\[
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
w'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x + t_x \\
y + t_y \\
1
\end{bmatrix}
\]
用齐次坐标表示的点和向量还满足以下条件:
- 向量 + 向量 = 向量: \(w' = 0 + 0 = 0\).
- 点 - 点 = 向量: \(w' = 1 - 1 = 0\).
- 点 + 向量 = 点: \(w' = 1 + 0 = 1\).
- 点 + 点 = 两点中点.
假如 \(w > 1\):
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
w
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x / w \\
y / w \\
1
\end{bmatrix}
, w \neq 0
\]
仿射变换(affine map) = 线性变换(linear map) + 平移.
用齐次坐标表示各种变换:
\[
T(t_x, t_y) =
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
\]
\[
S(s_x, s_y) =
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
s_x & 0 & 0 \\
0 & s_y & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
\]
\[
R(\theta) =
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
\]
逆变换(inverse transform)
\[ MM^{-1} = M^{-1}M = I \]
一个矩阵和自己的逆相乘等于单位矩阵, 意味着没有进行任何变换.
正交矩阵
方阵 \(Q\) 元素为实数且满足以下条件:
\[ Q^T = Q^{-1} \Leftrightarrow Q^T Q = Q Q^T = I \]
则被称为正交矩阵.
\[
\because
R(\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix},
R(-\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix} \\
\therefore R(-\theta) = R(\theta)^T \\
\because R(-\theta) = R(\theta)^{-1} \\
\therefore R(\theta)^T = R(\theta)^{-1}
\]
可以看出, 旋转变换矩阵是正交矩阵.
复合变换
\[ A_n \dots A_2 \cdot A_1 \cdot \vec{v} \]
其中 \(A_n\) 代表第 n 次变换.
因为矩阵乘法满足结合律, 所以可以提前计算 \(A_n \dots A_2 \cdot A_1\), 得到一个复合矩阵.
以绕固定点进行旋转为例, 应先将定点平移至坐标系原点, 然后绕原点进行旋转, 最终再将定点平移至原位.
绕点 \(c\) 旋转 \(\alpha\) 度: \(T(c) \cdot R(\alpha) \cdot T(-c)\), 变换顺序是从右到左.
看似进行了三次变换, 但可以将三次变换复合得到一次变换.
3D 变换
\[
T(t_x, t_y, t_z) =
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
z' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1
\end{bmatrix}
\]
\[
S(s_x, s_y, s_z) =
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
z' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & s_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & s_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1
\end{bmatrix}
\]
\[
R_x(\theta) =
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
z' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1
\end{bmatrix}
\]
\[
R_y(\theta) =
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
z' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1
\end{bmatrix}
\]
\[
R_z(\theta) =
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
z' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1
\end{bmatrix}
\]
Rodrigues 旋转公式
绕轴 \(n\) 旋转 \(\alpha\) 度:
\[
R(n, \alpha) = \cos(\alpha)I + (1 - \cos(\alpha))nn^T + \sin(\alpha)
\begin{bmatrix}
0 & -n_z & n_y \\
n_z & 0 & -n_x \\
-n_y & n_x & 0
\end{bmatrix}
\]
用向量 \(n\) 表示起点为坐标系原点的轴.
模型变换(model transformation)
将模型放置在场景中需要通过模型变换.
不同模型可以处在场景的不同位置, 所以每个模型都有一个单独的模型变换矩阵.
视图变换(viewing transformation)
以下属性用于确定一个视角:
- 坐标: \(\vec{e}\).
- 朝向(look-at/gaze direction): \(\hat{g}\).
- 向上方向(up direction): \(\hat{t}\).
将视角的坐标系变换到世界坐标系, 并使 \(\hat{g}\) 于 Z 轴负方向重合, \(\hat{t}\) 于 Y 轴正方向重合.
所有物体的坐标经过视图变换后将变成相对摄像机的相对坐标.
\[ M_{view} = R_{view} T_{view} \]
\[
T_{view} =
T({-e})
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
z' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -x_e \\
0 & 1 & 0 & -y_e \\
0 & 0 & 1 & -z_e \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1
\end{bmatrix}
\]
\[
R_{view}^{-1} = R_{view}^T =
\begin{bmatrix}
x_{\hat{g} \times \hat{t}} & x_t & x_{-g} & 0 \\
y_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_t & y_{-g} & 0 \\
z_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_t & z_{-g} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
\[
R_{view} = (R_{view}^T)^T =
\begin{bmatrix}
x_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{\hat{g} \times \hat{t}} & 0 \\
x_t & y_t & z_t & 0 \\
x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
投影变换(projection transformation)
正交投影
\[
M_{ortho} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
\[
M_{ortho} =
\begin{bmatrix}
\frac{width}{2} & 0 & 0 & \frac{width}{2} \\
0 & \frac{height}{2} & 0 & \frac{height}{2} \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
透视投影
视口变换
\[
M_{viewport} =
\begin{bmatrix}
\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{l+r}{2} \\
0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]