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概述

密码学 (Cryptography) 包含以下两部分:

  • 密码编码学 (Cryptologhy): 研究密码体制 (Cryptosystem).
  • 密码分析学 (Cryptanalysis): 研究/破译密码.

密码编码学

密码系统 (密钥体制) 通常由以下五部分组成:

  1. 消息空间: 所有可能明文的有限集, 通常用 \(\cal{M}\) 表示.
  2. 密文空间: 所有可能密文的有限集, 通常用 \(\cal{C}\) 表示.
  3. 密钥空间: 所有可能密钥的有限集, 通常用 \(\cal{K}\) 表示.
  4. 加密算法: 通常用 E 表示.
  5. 解密算法: 通常用 D 表示.

柯克霍夫斯原理 (Kerckhoffs's principle): 即使密码系统的任何细节已为人悉知, 只要密匙未泄漏, 它也应是安全的.

该原理看上去似乎有悖常理, 但请注意以下几点:

  1. 历史经验证明不公开的系统总是非常脆弱的.
  2. 加密算法难以保密.
  3. 检验算法是否足够健壮的办法是公开.

在一个可靠的密码体制中, 唯一需要保密的就是密钥.
因此在后面的讨论中, 加密算法 E 和解密算法 D 将假设已知.

密码分析学

破解密码体制的方法有多种, 以下列举几种:

  • 经典密码分析 (Classical Cryptanalysis).
  • 数学分析法: 研究加密方法的内部结构.
  • 蛮力攻击法: 测试密钥空间中的所有密钥.
  • 实施攻击 (Implementation Attack).
  • 社会工程攻击 (Social Engineering Attack).

TLS

  • 安全套接层 (Secure Sockets Layer, SSL).
  • 安全传输层协议 (Transport Layer Security, TLS).
  • Private Communications Technology, PCT.

SSL 1.0 -> SSL 2.0 -> PCT -> SSL 3.0 -> TLS 1.0

古典密码

替换密码 (Subsitiution cipher)

凯撒密码

对字母进行偏移(shift).

  • \(E_n(x) = (x + n) \text{ mod } 26\).
  • \(D_n(x) = (x - n) \text{ mod } 26\).

当偏移量 \(n = 3\) 时是凯撒密码 (Caesar cipher), 这也意味着凯撒密码不属于密码系统, 因为其没有密钥.

fn E(plaintext: &str, key: u8) -> String {
    let key = key % 26;
    plaintext
        .chars()
        .map(|c| {
            if c.is_ascii_lowercase() {
                ((c as u8 - b'a' + key) % 26 + b'a') as char
            } else if c.is_ascii_uppercase() {
                ((c as u8 - b'A' + key) % 26 + b'A') as char
            } else {
                c
            }
        })
        .collect()
}

仿射密码 (Affine cipher)

密钥是一张映射表.
密钥空间大小 \(|\cal{K}| = 26!\).

std::string E(std::string_view plaintext, const std::map<char, char>& key) {
    std::string ciphertext;
    for (const auto ch : plaintext)
        ciphertext.push_back(key.at(ch));
    return ciphertext;
}

破解

攻击模式: 唯密文攻击 (ciphertext-only attack).

以英文为例, 这种加密方式不会改变原来语言的特征. 因此可以根据语言的特征进行破解, 如:

  1. 英文单词出现频率.
  2. 字母组合出现频率, 如 th/an/in/the 等.

英语使用者的键盘磨损, 可以推断字母的使用频率

可以看出虽然替换密码的密钥空间不小, 但依然十分的脆弱.

维吉尼亚密码 (Vigenère cipher)

密钥是一个词.

维吉尼亚密码加密示意图 

// 假设 A = 0
std::string E(const std::string& plaintext, const std::string& key) {
    std::string ciphertext;
    for (std::size_t i = 0; i < plaintext.size(); i++)
        ciphertext.push_back(
            ((key[i % key.size()] - 'a') + (plaintext[i] - 'a')) % 26 + 'a');
    return ciphertext;
}

破解

攻击模式: 唯密文攻击.

假设 k 长度为 n, 将密文 n 个字母一组进行统计分析.
假设每个分组中字母 h 的出现频率最高, 假设对应明文为 e (文字中出现频率最高的英文字母), 那么就可以算出 h 对应的明文 h - e = c.

若不知道 k 的长度, 可以进行假设 k 的范围并进行暴力测试.

转轮机 (Rotor machines)

  • The Hebern machine: single rotor.
  • The Enigma: 3-5 rotors.

转轮机示意图

假设转子数为 n, 密钥空间大小 \(|\cal{K}| = 26^n\). 

// single rotor
std::string E(const std::string& plaintext, int key) {
    std::string ciphertext;
    for (const auto ch : plaintext)
        ciphertext.push_back(((key++ % 26) + (ch - 'a')) % 26 + 'a');
    return ciphertext;
}

// multiple rotors
std::string E(const std::string& plaintext, std::vector<int> key) {
    std::string ciphertext(plaintext.size(), '\0');
    for (std::size_t i = 0; i < plaintext.size(); i++) {
        for (std::size_t j = 0; j < key.size(); j++) {
            ciphertext[i] += (key[j]++ % 26) + (plaintext[i] - 'a');
        }
        ciphertext[i] = ciphertext[i] % 26 + 'a';
    }
    return ciphertext;
}

对称密码

英文: Symmetics ciphers.

对称密码示意图

特点是使用相同的密钥K.

一致性方程: \(D(k, E(k, m)) = m\).

异或(exclusive-OR, XOR)

\(A\) \(B\) \(A \oplus B\)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
  1. 归零律: \(a \oplus a = 0\).
  2. 恒等律: \(a \oplus 0 = a\).
  3. 交换律: \(a \oplus b = b \oplus a\).
  4. 结合律: \(a \oplus b \oplus c = a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c\).
  5. 自反: \(a \oplus b \oplus a = b\).

参见

参考

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