矩阵
1. 矩阵的基本运算(加减乘除)
矩阵乘法:
\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50 \\
\end{bmatrix}
\]
\(C_{11} = A_{11} * B_{11} + A_{12} * B_{21}\)
2. 三元一次方程组 (10分)
\[
ax_1 + bx_2 + cx_3 = x \\
dx_1 + ex_2 + fx_3 = y \\
gx_1 + hx_2 + ix_3 = z
\]
\[
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
\]
3. 矩阵行列式 (10分)
\[
\begin{vmatrix}
1 & b & c \\
0 & e & f \\
0 & h & i
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
e & f \\
h & i
\end{vmatrix}
= ei - hf
\]
4. 矩阵求逆 (10分)
\[ A^{-1} = \frac{A^*}{|A|} \]
5. 矩阵方程组 (10分)
\[ AA^{-1} = A^{-1}A = I \]
\[
\begin{align}
AX &= AB \\
X &= A^{-1}AB \\
X &= A^{-1}B \\
X &= \frac{1}{|A|}}A^*B
\end{align}
\]
Warning
注意矩阵之间相乘顺序不可以对调, 假设公式为 \(XA = B\) 可得 \(X = BA^{-1}\).
矩阵不能作为分母.
答题步骤:
- 求行列式的值.
- 求代数余子式.
- 带入公式.
\[
\begin{align}
AX + BX &= C \\
(A+B)X &= C \\
X &= (A+B)^{-1}C
\end{align}
\]
\[
AX + X = B
(A + I)X = B
\]
6. 初等变换
\(A \rightarrow B\)
2 3 1 2 1 2 3 3 3 6 9 12
1 2 3 3 2 3 1 2 1 2 3 4
1 2 3 3 0 -1 -5 -4 0 0 0 1
7. 矩阵的秩
最高阶子式不为零的阶数.
求 r(A).
r(A) = 造三角形零的矩阵的 行数 - 零行数
1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
8. 证明
对角矩阵
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & . & . & 0 \\
. & a_{22} & 0 & . \\
. & 0 & . & . \\
0 & . & . & a_{mn}
\end{bmatrix}
\]
上三角(左下角为0)/下三角矩阵(右上角为0)
对称矩阵(主对角线为对称轴)