求解线性方程组
克莱姆法则(Cramer's rule)
作用: 求解线性方程组.
若线性方程组的系数矩阵可逆(非奇异), 即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解, 其解为:
\[
x_j = \frac{D_j}{D} (j = 1,2,\dots,n)
\]
线性方程组:
\[
\left\{ \begin{align} x + y =& 3 \\ 2x - y =& 1 \end{align} \right.
\]
\[
D = \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right| = -3 \\ D_1 = \left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right| = -4 \\ D_2 = \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| = -5 \\ \left\{ \begin{align} x = \frac{D_1}{D} = \frac{4}{3} \\ y = \frac{D_2}{D} = \frac{5}{3} \end{align} \right.
\]
增广矩阵(augmented matrix)
别名: 扩增矩阵, 广置矩阵.\ 作用: 判断线性方程组解的情况.
线性方程组:
\[
\begin{align} x + y =& 3 \\ 2x - y =& 1 \end{align}
\]
系数矩阵:
\[
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}
\]
增广矩阵:
\[
\left[ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right]
\]
- 当时 \(r(A) < r(A, b)\), 方程组无解.
- 当时 \(r(A) = r(A, b) = n\), 方程组有唯一解.
- 当时 \(r(A) = r(A, b) < n\), 方程组有无限多解.
初等变换(elementary transformation)
作用: 求行列式的值.
初等行变换
- 以一个非零的数乘矩阵的某一行.
- 把矩阵的某一行的 k 倍加到另一行.
- 互换矩阵中两行的位置.
初等列变换
与初等行变换类似, 但以列为单位.
高斯消元法(Gaussian elimination method)
作用: 求解线性方程组, 求矩阵的秩.
\[
线性方程组 \rightarrow 增广矩阵 \xrightarrow{行初等变换} 行阶梯形矩阵(row-echelon form)
\]
- 特征值: \(|\lambda E-A|\).
- 特征向量: \((\lambda E-A)X = 0\).